伟大的作曲家伊戈尔·斯特拉文斯基（IgorStravinsky）曾说：“音乐这种形式和数学较为接近——也许不是和数学本身相关，但肯定与数学思维和关系式有关。”今天的文章围绕着“弦”，讲述了数学与音乐之间的亲密关系。这场论战对微积分之后的数学发展产生了深远的影响，但音乐仍然是音乐，是“灵*的语言”。
本文经授权摘选自《音乐是怎样算成的》（北京联合出版公司）第四章，标题为编辑所加。前往“返朴”，点击文末“原文链接”可购买此书。点击“在看”并发表您的感想至留言区，截至年3月27日中午12点，我们会选出3条留言，每人赠书一本。
撰文
EliMaor（以色列理工学院博士）
译者
张岭（中科院地质与地球物理研究所博士）
很久很久以前，也许是年前的某一天，一位不知名姓的猎人发现，当他拨动猎弓的弓弦时，弓弦发出的声音具有某种特定的音高。大约年前，萨摩斯的毕达哥拉斯发现，在琴弦长度和其音高之间存在着一个定量关系，这是人们将音乐与数学联系起来的首次尝试。但是，要想更为全面地理解两者之间的关系，则要等到18世纪，那时，将有四位伟大的数学家致力于解决这一问题——他们试图用新近创立的微积分来寻找答案。
如果我们拨弄吉他的琴弦，或者用琴锤敲击钢琴的琴弦，琴弦的静止状态就会受到扰动，那么此时，问题的关键就是如何确定这条紧绷的、柔韧的琴弦的形状。在前一种情形下，琴弦被赋予初始的位移；而在后一种情形下，琴弦被赋予的则是初始的速度。总之，这两种情况均给出了琴弦的“初始状态”。原则上，根据初始状态就可以确定琴弦在未来任何时间的形状。
我们拨弄琴弦的时候，会瞬间扰动其静止状态，琴弦会形成一个三角形，尽管这个三角形又长又矮（肉眼很难确定高度）。在我们放开琴弦的一瞬间，这种干扰会分成两个脉冲，沿相反的方向顺着琴弦传播开来。它们传播的速度取决于琴弦的物理参数，即撑住琴弦的张力和琴弦材料的线密度（单位长度的质量）。实际上，琴弦所起的作用相当于一个一维的波导，使信号沿着该介质传输。
如果琴弦无限长，那么这两个脉冲将沿相反的方向永远行进下去—当然，这里有个假设条件，即不存在迟滞运动的摩擦力。但实际上，琴弦的长度是有限的；其两端被紧紧固定，导致两个脉冲在两个端点间来回运动，它们会周期性地组合成“驻波”（standingwave），即一种上下运动，而琴弦上的每一个点都参与其中。这种周期性运动只能是一种以琴弦的最低频率，即基频，振动的纯粹的正弦波，或者是若干频率为基频的2、3、4、…倍的正弦波的叠加组合。这就是我们在上一章中提到的谐波，它们将琴弦分解成单个的部分，其波长分别为基本波长的1/2、1/3、1/4、…，并且每一部分的振动都彼此独立。琴弦的实际运动则是所有这些波的总和或者叠加。
18世纪的数学家面临着一个困境：如何确定琴弦被拨弄时所形成的初始三角形的形状？该三角形有一个尖锐的顶角，它会演变成许多—也许是无数个—正弦波彼此叠加在一起，每个波的形状都异常平滑。这个问题成了一场激烈辩论的焦点，几乎每位数学家都不遗余力地参与其中。他们之中，有四个名字脱颖而出：丹尼尔·贝尔努利（DanielBernoulli，-），莱昂哈德·欧拉，让·勒朗·达朗贝尔（JeanleRondD’Alembert，-）和约瑟夫·路易·拉格朗日（JosephLouisLagrange，-）。下面，我们先简单介绍一下这四位主角。
丹尼尔·贝尔努利是一个显赫家族的第二代，他的家族数学家和物理学家辈出。这个家族来自瑞士巴塞尔（Basel），一座安详宁静的大学城。经过五代的传承，贝尔努利家族至少出过八位杰出的成员。这些家族成员之间相互竞争，彼此嫉妒，他们做出了很多的发现，也不断卷入因这些发现而引起的诸多论战之中。他们会就工作中的技术细节激烈辩论，而家族成员之间的论战对此更是火上浇油。
丹尼尔的父亲约翰［Johann，也被称为让（Jeanne），-］，及其兄长雅各布［Jakob，也被称为雅克（Jacques）或者詹姆斯（James），—］是贝尔努利家族在数学领域取得非凡成就的第一代成员。老贝尔努利们充分利用新近创立的微积分理论，在连续介质力学的几个领域做出了重要的贡献，其中包括弹性力学、流体力学以及振动理论等。雅各布还撰写了一篇关于概率理论的、具有里程碑意义的论文，即《推想的艺术》（Arsconjectandi，该书在雅各布去世后于年出版）。丹尼尔·贝尔努利继承了父辈的事业，他在年发表的论文《流体力学》（Hydrodynamica）中提出了一个以他的姓氏命名的著名定律（即“贝尔努利定律”），为飞行理论奠定了基础。丹尼尔和父亲经常投身于相同问题的研究工作，他们分享各自的见解，但会为某些细枝末节而争吵不休。有一次，约翰由于不得不和丹尼尔一起分享巴黎科学院（ParisAcademyofSciences）的一项殊荣而大为光火，最终将儿子永远逐出门墙。在家族中，丹尼尔是唯一一位在数学理论及实验物理学方面均取得不朽成就的人，而其他人的最主要成就都是成为数学家。
在四人当中，莱昂哈德·欧拉显然是成果最为丰硕的一位。他的成果如此繁多，以至于尽管尚未全部出版，就已经堆积了大约70卷专著，涉及当时已知的所有数学和物理学领域，包括数论、力学、流体力学、天体力学，以及他所开创的拓扑学。以欧拉命名的定理和公式比其他任何科学家都多，其中最著名的公式有两个。一个是方程V-E+F=2，数值V为任意简单多面体（由平面围成，且不存在任何孔洞的固体）的顶点数目，E为边的数目，F为面的数目，该方程解释了这三个数值之间的关系。另一个是谜一般的eπi+1=0，它将数学中最重要的五个常数融为一体。该公式中的三个符号里，有两个，即e和i，是因为欧拉才出现在数学表达式的。另外，他还引入了函数的表示方式f（x)。他所发表的影响力最大的专著是两卷本的《无穷小分析引论》（Introductioinanalysininfinitorum，），被认为是现代数学分析的奠基之作。从广义上讲，此书探讨了连续性的问题。
欧拉出生在巴塞尔，他先师从约翰·贝尔努利，之后于年入读巴塞尔大学，仅用了两年便从大学毕业。年，欧拉移居到俄国圣彼得堡，并在那里待了14年。此后，他接受腓特烈大帝（FredericktheGreat）的邀请加入柏林科学院（BerlinAcademyofSciences）。但是，国王和他的这位学者相处得并不融洽，腓特烈更喜欢那种夸夸其谈的人，而不是性格羞怯的欧拉。因此，年，年近六旬的欧拉又回到了俄国，并在那里度过余生。晚年的欧拉厄运不断：他先是失去了一只眼睛的视力，接着另一只眼睛也失明了；他的房子毁于火灾，许多手稿都因此遗失；但他的厄运远不止于此，5年之后，他的妻子撒手人寰。百折不挠的欧拉再次走进婚姻的殿堂，失明也未能阻止他继续从事研究工作。他具有强大的专注力，这使他能够完全凭借心算进行最复杂的计算。在生活中，欧拉谦逊大度地赞扬他人的工作成果，这一特点使他与学界中的其他人迥然不同。
让·勒朗·达朗贝尔是巴黎城里一位玻璃匠收养的私生子；这个刚落地的婴儿是在圣·让·勒朗教堂（ChurchofSt.Jean-le-Rond）被人发现的，于是长大以后，他就用教堂的名字为自己命名。像同时代的大多数数学物理学家一样，他在连续介质力学和天体力学领域涉猎广泛。年，达朗贝尔发表了《动力学》（Traitédedynamique），在该书中，他提出了一条公式化的定理（“达朗贝尔原理”），即任何处于外力影响下的动态系统都可被视为处于静态平衡。达朗贝尔通过改写牛顿的第二运动定律得到了自己的定理，将广为人知的F=ma改写成F-ma=0，并将该公式解释为作用于系统上的所有力的总和为零。凭借该定理，达朗贝尔顺利解决了当时困扰众人的诸多问题，包括流体力学以及地球的分点岁差问题。
达朗贝尔曾担任《德尼·狄德罗大百科全书》（theGreatEncyclopediaofDenisDiderot）的编辑，这部作品旨在涵盖当时人类全部的知识。但天主教会显然对此书相当不满，也许主要原因在于它以理性而非灵性作为要旨。所以，他最终放弃了自己的编辑身份。后来，达朗贝尔设法陆续得到了法国国王路易十五（LouisXV）、普鲁士统治者腓特烈二世（FrederickII），以及俄国女皇叶卡捷琳娜二世（CatherineII）的青睐。从某种程度上讲，达朗贝尔的性格颇为傲慢，有着强烈的自我意识，这无疑与他和当权者之间的联系有着密切的关系。
约瑟夫·路易·拉格朗日伯爵是四人之中最年轻的一位；当他卷入到有关振动弦问题的论战时，还是个寂寂无闻之辈。尽管他拥有法国姓名，但是在意大利都灵出生和长大的。他是家里十一个孩子中年纪最小的，也是唯一活到成年的。拉格朗日很早就展示出对数学的浓厚兴趣，并在年仅19岁时便成为都灵皇家炮兵学校（RoyalArtillerySchoolofTurin）的教授。年，他迁居德国，接替欧拉的位置成为柏林科学院的院长。年，他被任命为著名的巴黎综合理工学院（colePolytechniqueofParis）的教授。拉格朗日的暮年备受抑郁症困扰，还未及50岁，他的工作成果就直线下降。于是，他将工作重心转移到管理事务方面。年，在法国大革命之后，拉格朗日被任命为一个委员会的主席，该委员会负责向全世界推广重量及测度的公制度量系统，这是法国对科学界最伟大的贡献之一。
拉格朗日的主要贡献是差分方程（differentialequations），以及与离散介质和连续介质相关的力学领域。他在代数和数论方面也做出了卓越的贡献。他对牛顿的三大运动定律做了公式重构，即用差分方程以及变分法（calculusofvariations）的形式重新构建。原有运动定律的